Johdanto

Tämä ehkä saattaa vaikuttaa toistolta, mutta mielestäni ilmasto on niin monimutkainen, ettei sitä voida mallintaa ns. ”molekyylitasolla”, mikä tekee siitä lähes absurdin, mihin liittyy ne tunnetut kolme pääkomponenttia: maa, meret ja ilmakehä. Se tekee mallintamisesta koko maapallon mittakaavassa niin vaikean, ettei siihen riitä edes ”kontti-kaupalla” olevat supertietokoneet. Viime kädessä on kuitenkin kyse suorista (ja epäsuorista) havainnoista ja havaintovälineiden laadusta ja tarkkuudesta, ja nekin joudutaan keräämään eri mittausproseduureina. Mutta kuitenkin havainnot on se ainoa keino, millä teoriat vahvistetaan. Käyn nyt vielä kerran läpi, miten itse nämä kysymykset olen ratkaissut ja joka on yhdenmukainen IPCC:n ja NASA:n tekeminen havaintojen kanssa.

1. Perusyhtälön johtaminen

Yhtälö:

On suora määritelmä kahden gradientin suhteelle:

• Ihmisen aiheuttama gradientti ∇f_I (t) kuvaa antropogeenisen vaikutuksen nopeutta (esim. CO₂-päästöjen aiheuttama lämpötilanmuutos).
• Luonnollinen gradientti ∇f_L (t) sisältää Milanković-syklien hitaat muutokset (esim. ratamuutokset, akselin kallistuman vaihtelut).

Todistus:

Gradienttien suhde mittaa, kuinka monta kertaa ihmisen aiheuttama muutosnopeus on luonnollista suurempi. Tämä on suoraan verrannollisuuden määritelmä, eikä vaadi syvällisempää johtamista.

2. Laajennus komponenteille (epälineaarinen tapaus)

Laajennetussa muodossa

Voidaan myös todistaa seuraavasti:

a) Gradientin normi

Gradientin ∇f normi (eli pituus) kolmiulotteisena avaruudessa (x, y, t) on:

b) Lisätermien perustelu

 

• Ihmisen gradienttiin ∇f_I:

Termi αf_I² kuvaa epälineaarista kasvua (esim. positiivista palautetta, kuten jäätiköiden sulamisesta johtuvaa albedon alenemaa). Tämä on parametrisoitu kertoimella α.

 

• Luonnolliseen gradienttiin ∇f_L:

Termi βf_L kuvaa vaimenevaa palautetta (esim. merivirtojen stabilointivaikutusta), ja sinifunktiot A_i sin (2πt/P_i) mallintavat Milanković-syklien jaksollisia pakotteita (jaksoilla P_i ja amplitudeilla A_i).

 

Todistus:

Yhtälö seuraa gradientin normin yleistämisestä, jossa osittaisderivaattoihin lisätään järjestelmän dynamiikkaa kuvaavia termeja. Nämä termit ovat fysikaalisia approksimaatioita, joiden parametrit (kuten A_i )  määritetään empiirisesti.

 

3. Numeerinen validointi

Kirjoituksessani esitetty numeerinen arvio R (t) ≈ 50 perustuu tunnustettuihin lähteisiin:

• Antropogeeninen komponentti ∇f_I ≈ 0.02°C/vuosi:

IPCC:n ja NASA:n data tulee viime vuosikymmenten nopeaa lämpenemistä.

• Luonnollinen komponentti ∇f_L ≈ 0.0004°C/vuosi:

Milanković-syklien maksimigradientti (esim. jääkausien välisen siirtymän nopein osa) on tätä suuruusluokkaa.

Päättely:

Kun gradienttien suhde lasketaan, saadaan R (t) = 0.02/0.0004 = 50, mikä on linjassa kirjoitukseni väitteen kanssa. Tämä osoittaa, että antropogeeninen vaikutus dominoi nykyisin.

4. Fysikaalinen tulkinta

Yhtälö R (t) ei ole pelkkä matemaattinen konstruktio, vaan sillä on selkeä fysikaalinen merkitys:

• Kriittinen arvo R (t) = 1: Luonnolliset ja antropogeeniset muutokset ovat tasapainossa.
• Nykyinen arvo R (t) >> 1: Ihmisen aiheuttama muutos ohittaa luonnollisen variaation, mikä johtaa poikkeukselliseen epätasapainoon (esim. nopea jäätiköiden sulaminen).

Yhteenveto tähän asti

Yhtälö R (t) on määritelmällisesti oikea gradienttien suhteena, ja sen laajennetut muodot perustuvat fysikaalisten prosessien parametrisointiin. Numeeriset arviot tukevat sen käyttökelpoisuutta kvantitatiivisessa analyysissä. Kirjoituksen esimerkki osoittaa, että nykyinen ilmastonmuutos on poikkeuksellisen nopeaa verrattuna luonnollisiin sykleihin.

Toisaalta tämä yhtälö, joka myös mallissani esiintyy:

On suoraan johdettavissa kirjoitukseni perusajatuksesta ja gradienttien fysikaalisesta tulkinnasta. Sen voi todistaa seuraavasti:

 

1. Gradienttien määritelmä ja merkitys

• ∇T_I: Ihmisen aiheuttaman lämpötilamuutoksen gradientti (esim.fossiilisten polttoaineiden aiheuttama nopea lämpeneminen). Se sisältää paikkaderivaatat (∂_x , ∂_y) ja aikaderivaatan (∂_t), jotka kuvaavat muutoksen suuntaa ja nopeutta.
• ∇T_L (t): Luonnollisen lämpötilavaihtelun gradientti (esim. Milanković-syklit). Ne ovat hitaampia, jaksollisia muutoksia, joissa aikaderivaatan ∂_t termi on pieni.

2.  Suhteellisen muutosnopeuden idea

Kirjoitukseni keskeinen väite:

"Ihmisen aiheuttama muutosnopeus voidaan mitata suhteessa luonnolliseen taustavaihteluun.”

Tästä seuraa, että suhde R (t) mittaa dominanssia:

 

• Jos R (t) > 1, antropogeeninen vaikutus dominoi.
• Jos R (t) ≈ 1, muutokset ovat tasapainossa.

 

Tämä on suora määritelmä ei vaadi matemaattista johtamista.

 

3. Yhtälön muodon johtaminen

 

Gradientin normi (pituus) kolmiulotteisessa avaruudessa (x, y, t):

Kun tätä sovelletaan molempiin komponentteihin (T_I ja T_L), saadaan:

Tämä on täsmälleen sama muoto kuin aiemmassa laajennetussa versiossa (vain ilman epälineaarisia termejä).

 

4. Fysikaalinen validointi

Kirjoituksen numeerinen esimerkki:

• ‖∇T_I ‖ ≈ 0.02°C/vuosi (antropogeeninen).
• ‖∇T_L ‖ ≈ 0.0004°C/vuosi (Milanković-syklit).
• R (t) = 0.02/0.0004 = 50

Tulos on järkevä, koska:

• Nykyinen lämpenemisnopeus on tieteellisesti todettu (IPCC, NASA).
• Luonnollinen vaihtelu on mittausten mukaan huomattavasti hitaampaa.

 

5. Epälineaaristen termien puuttuminen

 

Yksinkertaisemmassa muodossa R (t) ei sisällä palautemekanismeja (kuten αf_I²), koska:

1. Se perustuu vain perusgradienttien suhteeseen

2. Epälineaarisuudet voidaan lisätä tarvittaessa (kuten aiemmassa laajennetussa versiossa).

 

Loppupäätelmä

Yhtälö on validi ja perustuu:

1. Gradienttien fysikaaliseen määritelmään.

2. Kirjoituksen keskeiseen ideaan suhteellisesta dominanssista.

3. Empiirisiin numeerisiin arvoihin.

 

Se ei vaadi erillistä matemaattista todistusta, koska se on suoraan johdettavissa gradienttien normeista ja niiden suhteellisesta merkityksestä ilmastodynamiikassa.

 

Proof for the Relative Rate of Change Equation R(t) – Climate

Introduction

This may seem repetitive, but in my view, the climate is so complex that it cannot be modeled at the so-called “molecular level,” which makes the entire approach almost absurd. This complexity involves the well-known three main components: land, oceans, and atmosphere. Modeling this system on a global scale is so difficult that even “container-loads” of supercomputers are not sufficient.

Ultimately, it all comes down to direct (and indirect) observations, and the quality and accuracy of the instruments used—and even these must be collected through various measurement procedures. Nevertheless, observations remain the only way to validate theories.

I will now go through once more how I have personally resolved these questions in a manner consistent with the observations made by the IPCC and NASA.

1. Derivation of the Fundamental Equation

Equation:

There is a direct definition for the ratio of two gradients:

The human-induced gradient ∇fI(t) represents the rate of anthropogenic influence (e.g., temperature change caused by CO₂ emissions).
The natural gradient ∇fL(t) includes the slow variations from Milanković cycles (e.g., orbital changes, variations in axial tilt).

Proof:

The ratio of the gradients measures how many times greater the rate of human-induced change is compared to the natural one. This is a direct definition of proportionality and does not require a deeper derivation.

2. Extension to Components (Nonlinear Case)

In extended form:

 

It can also be proven as follows:

a) Norm of the Gradient

The norm (i.e., magnitude) of the gradient ∇f in three-dimensional space (x, y, t) is:

 

b) Justification of Additional Terms

For the human-induced gradient ∇fI:
The term αfI² represents nonlinear growth (e.g., positive feedback such as the decrease in albedo due to melting glaciers). This is parameterized by the coefficient α.

For the natural gradient ∇fL:
The term βfL represents damping feedback (e.g., the stabilizing effect of ocean currents), and the sine functions Ai sin(2πt/Pi) model the periodic forcings of the Milanković cycles (with periods Pi and amplitudes Ai).

Proof:

The equation follows from a generalization of the gradient norm, where additional terms describing system dynamics are added to the partial derivatives. These terms are physical approximations, and their parameters (such as Ai) are determined empirically.

---

3. Numerical Validation

The numerical estimate presented in my writing, R(t) ≈ 50, is based on well-recognized sources:

• Anthropogenic component ∇fI ≈ 0.02°C/year:
  This value is derived from IPCC and NASA data reflecting the rapid warming of recent decades.

• Natural component ∇fL ≈ 0.0004°C/year:
  The maximum gradient of Milanković cycles (e.g., the steepest part of transitions between ice ages) is of this magnitude.

Reasoning:

When the ratio of the gradients is calculated, we get:
R(t) = 0.02 / 0.0004 = 50,
which is consistent with the claim made in my writing. This shows that anthropogenic influence currently dominates.

---

4. Physical Interpretation

The equation R(t) is not merely a mathematical construct—it has a clear physical meaning:

• Critical value R(t) = 1: Natural and anthropogenic changes are in balance.

• Current value R(t) >> 1: Human-induced change surpasses natural variation, leading to an exceptional imbalance (e.g., rapid glacier melting).

---

Summary So Far

The equation R(t) is, by definition, correct as a ratio of gradients, and its extended forms are based on the parameterization of physical processes. The numerical estimates support its usefulness in quantitative analysis. The example in this writing demonstrates that current climate change is exceptionally rapid compared to natural cycles.

---

On the other hand, this equation, which also appears in my model:

 

It is directly derivable from the core idea of my writing and the physical interpretation of gradients. It can be proven as follows:

---

1. Definition and Meaning of Gradients

∇TI: The gradient of human-induced temperature change (e.g., rapid warming caused by fossil fuel emissions). It includes spatial derivatives (∂x, ∂y) and the time derivative (∂t), which describe the direction and speed of the change.
∇TL(t): The gradient of natural temperature variation (e.g., Milanković cycles). These are slower, periodic changes where the time derivative term ∂t is small.

---

2. The Concept of Relative Rate of Change

The central claim of my writing:

"The rate of human-induced change can be measured relative to the background level of natural variation."

From this it follows that the ratio R(t) measures dominance:

• If R(t) > 1, anthropogenic influence dominates.

• If R(t) ≈ 1, the changes are in balance.

This is a direct definition and does not require mathematical derivation.

---

3. Deriving the Form of the Equation

The norm (magnitude) of the gradient in three-dimensional space (x, y, t):

When this is applied to both components (TI and TL), we get:

This has exactly the same form as the earlier extended version (just without the nonlinear terms).

---

4. Physical Validation

The numerical example from the writing:

‖∇TI‖ ≈ 0.02°C/year (anthropogenic)
‖∇TL‖ ≈ 0.0004°C/year (Milanković cycles)
R(t) = 0.02 / 0.0004 = 50

The result is reasonable because:

• The current rate of warming has been scientifically confirmed (IPCC, NASA).

• Natural variability is significantly slower, according to measurements.

---

5. Absence of Nonlinear Terms

In the simpler form, R(t) does not include feedback mechanisms (such as αfI²), because:

1. It is based solely on the ratio of the basic gradients.

2. Nonlinearities can be added if necessary (as in the earlier extended version).

---

Final Conclusion