Matemaattinen tulkinta ja grafiikkaa

Gradientti ja muutosnopeuden epälineaarinen vertailu

Kaava, joka kuvaa ihmistoiminnan aiheuttamaa muutosnopeutta suhteessa luonnon dynamiikkaan perustuu funktioon:

z = f (x, y, t)

Jolloin gradientti on:

∇f = (∂f/∂x , ∂f/∂y , ∂f/∂t)

Kuitenkin ilmastonmuutos ei etene tasaisesti, vaan sisältää epälineaarisia kytkentöjä:

∇f_I = (∂f_I/∂x_I , ∂f_I/∂y_I , ∂f_I/∂t + αf_I²)

∇f_L = (∂f_L/∂x_L , ∂f_L/∂y_L , ∂f_L/∂t + βf_L)

Missä:

• I = ihmistoiminnan aiheuttama muutosnopeus.
• L = luonnon dynamiikka.a
• α ja β = epälineaarisuuden kertoimet, jotka kuvaavat esimerkiksi takaisinkytkentöjä.

Vertailusuhde epälineaarisessa tapauksessa:

∇f_I/∇f_L >> 1, kun αf_I² >> βf_L

Dynaaminen tasapaino ja epälineaariset kytkennät

Luonnon dynamiikka pyrkii hidastamaan ihmistoiminnan aiheuttamaa muutosnopeutta, mutta jos järjestelmä saavuttaa kriittisen kynnysarvon, ilmastonmuutos voi kiihtyä eksponentiaalisesti. Esimerkiksi jääpeitteen albedovaikutus voidaan kuvata epälineaarisella differentiaaliyhtälöllä:

dA/dt = - κA + cAⁿ

Missä:

• A = jään peittämä pinta-ala.
• κ = sulamisnopeutta kuvaava vakio.
• c, n = takaisinkytkentää kuvaavat parametrit.

Jos n > 1, jään sulaminen kiihtyy eksponentiaalisesti, kunnes kriittinen piste saavutetaan.

Matemaattinen mallinnus luonnon ja ihmisen vaikutuksesta

Epälineaarinen muutosnopeuden kuvaus perustuu laajennettuun Pythagoraan lauseeseen:

ds² = dx² + dy² + γ (d_x x d_y)^p

dΦ_s = dΦ_x + dΦ_y + δ (dΦ_x x dΦ_y)^q

Missä γ, δ , p, q kuvaavat epälineaarisia yhteisvaikutuksia.

Yleisemmin muutosnopeuden osatekijät voivat olla kaoottisesti käyttäytyviä:

dΦ = ∑_n (∂Φ/∂x_n + λΦ^m)

Missä λ ja m vaikuttavat muutosnopeuden epälineaariseen dynamiikkaan.

Empiirinen data ja aikaskaalojen epälineaarisuus

Historiallinen data tukee epälineaarisia vaikutuksia ilmastonmuutoksessa:

• Ilmakehän hiilidioksidipitoisuus ei ole noussut lineaarisesti, vaan kiihtyvästi: esiteollisesta ajasta (280 ppm) vuoden 2023 yli 420 ppm:ään (NOAA, 2023).
• Jääpeitteen sulaminen on kiihtynyt: Grönlannin jääpeite menettää vuosittain yhä enemmän jäätä (nykyisin n. 270 miljardia tonnia vuodessa).
• Lämpeneminen ei ole tasaista, vaan sisältää nopeita siirtymävaiheita ja mahdollisia kynnysilmiöitä.

Aikaskaaloittainen tarkastelu osoittaa eksponentiaalista kehitystä:

• Vuosikymmenet: Lämpeneminen on kiihtynyt viimeisen 50 vuoden aikana, ja CO₂-päästöt eivät ole vakioituneet.
• Vuosisadat: Nykyisellä päästötahdilla lämpeneminen voi ylittää 3 °C vuoteen 2100 mennessä, mikä voi laukaista peruuttamattomia muutoksia.
• Geologinen aikaskaala: Viime jääkauden jälkeinen lämpeneminen (4–5 °C n. 10 000 vuodessa) on paljon hitaampaa kuin nykyinen lämpenemistahti.

Johtopäätökset

• Ihmistoiminnan aiheuttama muutosnopeus ei ole vain suurempi kuin luonnon oma muutosnopeus, vaan se voi sisältää eksponentiaalisia ja kaoottisia komponentteja.
• Luonnon dynamiikka pyrkii vastaamaan muutokseen, mutta kun kriittinen piste saavutetaan, tasapaino voi romahtaa nopeasti.
• Matemaattisesti ilmastonmuutosta voidaan kuvata epälineaaristen gradienttien ja differentiaaliyhtälöiden avulla, joissa on takaisinkytkentöjä.
• Empiirinen data vahvistaa, että ilmastonmuutoksen hillitseminen on kiireellistä, sillä järjestelmässä voi olla pisteitä, joiden jälkeen kehityskulku ei ole enää hallittavissa.

Lopuksi

Tätä mallia voidaan laajentaa lisäämällä numeerisia simulaatioita, joiden avulla voidaan tarkastella epälineaaristen prosessien vaikutuksia pitkällä aikavälillä. Erityisesti kriittisten kynnysarvojen ja kaoottisten käyttäytymismallien tarkempi analyysi voisi auttaa ymmärtämään, kuinka nopeasti ilmastonmuutoksen vaikutukset voivat kasvaa ja mitkä toimenpiteet ovat tehokkaimpia sen hillitsemisessä.

(Lisäosa lämpötilajakaumasta)

Kysymys kuuluu, että onko alle nollan olevien päivien lukumäärä vähentynyt tai onko koko lämpötilaskaala siirtynyt. Nämä yhtälöt kuitenkin kuvaavat muutosnopeuden epälineaarisuutta ja takaisinkytkentöjä, jotka voivat vaikuttaa lämpötilajakautuman käyttäytymiseen. Tätä voidaan analysoida esim. seuraavalla tavalla:

1. Koko jakauman muutos

• Jos lämpötilan jakauma siirtyy kokonaisuudessaan ylöspäin, tämä tarkoittaa, että sekä kylmimpien että kuumimpien päivien lämpötilat nousevat.
• Tätä voidaan kuvata muutoksella T’ = T + ΔT, missä ΔΤ οn keskilämpötilan nousu.

2. Äärilämpötilojen muutokset

• Jos jakauma levenee, kuumimpien päivien lukumäärä voi kasvaa, mutta kylmimpien päivien määrä ei välttämättä vähene yhtä paljon.
• Tämä voidaan mallintaa lisäämällä jakauman hajontaa epälineaarisella termillä, esim:

P(T) = P₀ e ^{- (T - T} _m)²/2σ² + λTⁿ

Missä σ kuvaa hajontaa ja λTⁿ epälineaarisia vaikutuksia, kuten takaisinkytkentöjä.

3. Havaintodatan käyttö

Historiallinen data kuitenkin osoittaa, että kylmimpien päivien määrä on vähentynyt enemmän kuin kuumimpien päivien määrä on lisääntynyt. Tämä viittaa siihen, että koko skaala on siirtynyt ylöspäin, mutta myös äärilämpötilojen esiintyminen on muuttunut.

Yhteenveto esimerkki-muuttujilla ja parametreilla

Ilmastomalleissa käytetään mm. Navier - Stokes yhtälöitä ja mennään syvälle yksityiskohtiin ja todella moniin muuttujiin. Olen vuodesta 2014 kehittänyt tätä malliani.  Esitän tässä kysymyksen, että voisiko tätä mallia jalostaa sellaiseen muotoon, missä tarkastellaan yleisellä tasolla ihmisen vaikutuksia, mihin luonto pyrkii reagoimaan? Eli voitaisiinko tästä muutosnopeuksien vertailusta todellakin esittää muutosnopeusyhtälöt eli osittaisdifferentiaalit, että päästään toteamaan kuinka nopeasti ihminen vaikuttaa suhteessa luonnolliseen? Kyllä voidaan! Tämä on mielestäni hyvin kiinnostava ja tärkeä lähestymistapa. Kun tarkastellaan ilmastoa systeeminä, joka reagoi eri ajureihin — kuten luonnollisiin sykleihin ja ihmisen aiheuttamiin muutoksiin — muutosnopeuksien vertaaminen tarjoaa erinomaisen tavan hahmottaa dynamiikkaa makrotasolla. Voimme lähestyä tätä muodollisesti muutosnopeusyhtälöiden avulla. Ajatellaan, että meillä on jokin ilmastoparametri, esimerkiksi lämpötila T, joka muuttuu ajassa. Tällöin sen kokonaismuutosnopeus voidaan jakaa kahteen osaan:

∂T/∂t = (∂T/∂t) _LUONTO  + (∂T/∂t) _IHMINEN

Missä:

• (∂T/∂t) _LUONTO kuvaa luonnollista, hitaasti muuttuvia ajureita (esim. Milankovićin syklit = jääkaudet / interglasiaalit / insolaatio, tulivuoret, auringon aktiivisuus)
• (∂T/∂t) _IHMINEN kuvaa ihmisen toiminnan aiheuttamaa nopeampaa muutosta (esim. CO₂ -päästöt, metsien hävittäminen)

Tästä voi nyt rakentaa yleisen mallin vertaamalla näiden muutosnopeuksien suuruusluokkia:

R = |(∂T/∂t) _IHMINEN| / |(∂T/∂t) _LUONTO|

Tässä R on muutosnopeussuhde. Jos R >> 1, ihmisen vaikutus dominoi. Jos R << 1, luonto määrää tahdin. Tämä on mielestäni yksinkertainen mutta tehokas metriikka.

Tämä voidaan myös laajentaa useille muuttujille, kuten:

• Kasvihuonekaasut C (t)
• Jään määrä I (t)
• Merien lämpötila T_MERI (t)
• Biodiversiteetti B (t)

Ja kirjoittaa jokaiselle vastaavat osittaisdifferentiaaliyhtälöt:

∂X/∂t = (∂X/∂t) _LUONTO + (∂X/∂t) _IHMINEN

Tällainen järjestelmä mahdollistaa esimerkiksi reaktioaikojen, sietokyvyn ja tasapainopisteiden arvioinnin ilman että tarvitsee ratkaista Navier–Stokesin kaltainen monimutkainen järjestelmä. 

1. Yleismalli: Muutosnopeusjakauma

Olkoon X (t) mikä tahansa ilmaston tilaa kuvaava suure — esimerkiksi globaali lämpötila, jään määrä, hiilidioksidipitoisuus, biodiversiteetti jne. Voimme kuvata kokonaismuutoksen muodossa:

∂X/∂t = f_LUONTO (t) + f_IHMINEN (t)

Missä:

• f_LUONTO (t): luonnollinen, hidas ja syklinen muutos
• f_IHMINEN (t): ihmisen aiheuttama nopea, eksponentiaalinen tai jyrkkä muutos

2. Suhteellinen vaikutus: Muutosnopeussuhde

Tarkastellaan suhdetta:

R_X (t) = |f_IHMINEN (t) / f_LUONTO (t)|

Jos R_X (t) > 1, ihminen vaikuttaa enemmän kuin luonto. Jos R_X (t) < 1, luonnolliset muutokset dominoivat.

3. Esimerkkimuuttujia

Valitaan viisi keskeistä muuttujaa:

 

Muuttuja X (t)       Fysikaalinen merkitys

T (t)                           Lämpötila

C (t)                           CO₂ -pitoisuus

I (t)                            Jään määrä

B (t)                           Biodiversiteetti

O (t)                           Merten happipitoisuus

 

Näille kaikille voidaan kirjoittaa samanlainen yhtälö:

∂X/∂t = f_{LUINTO, X} (t) + f_{IHMINEN, X} (t)

4. Parametrisoitu malli (esim. CO₂)

∂C/∂t = α x cos (ωt) + b x e^kt

• α cos (ωt) = luonnolliset vaihtelut (kausittaiset ja sykliset muutokset kuten Milankovitch -syklit = jääkaudet / interglasiaalit/ insolaatio, tulivuoret, auringon aktiivisuus)
• b x e^kt = ihmisen päästöt (eksponentiaalinen kasvu)

5. Simulaatiokehitys (Python - koodi)